甘肃省兰州市2023年中考数学试卷

更新时间：2023-07-20 浏览次数：212 类型：中考真卷

一、单选题

1. (2019·株洲模拟) －5的相反数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . -5

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2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 计算： $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . a

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4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 方程 $\text{[math]}$ 的解是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 $\text{[math]}$ ，圆弧的半径 $\text{[math]}$ ，圆心角 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 对称轴为 $\text{[math]}$ B . 顶点坐标为 $\text{[math]}$ C . 函数的最大值是－3 D . 函数的最小值是－3

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8. 关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根，则 $\text{[math]}$ （）

A . －2 B . 2 C . －4 D . 4

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9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度 $\text{[math]}$ ）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）

A . 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆 B . 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个 C . 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1% D . 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低

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10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在 $\text{[math]}$ 的延长线及 $\text{[math]}$ 上取点A，B，使 $\text{[math]}$ ；（3）连接 $\text{[math]}$ ，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线 $\text{[math]}$ ．按以上作图顺序，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 一次函数 $\text{[math]}$ 的函数值y随x的增大而减小，当 $\text{[math]}$ 时，y的值可以是（）

A . 2 B . 1 C . －1 D . －2

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12. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，F为 $\text{[math]}$ 的中点，以B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径的圆弧过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点G，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 2.5 C . 3 D . 3.5

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二、填空题

13. 因式分解： $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

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15. 如图，将面积为7的正方形 $\text{[math]}$ 和面积为9的正方形 $\text{[math]}$ 分别绕原点O顺时针旋转，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：

累计抛掷次数	50	100	200	300	500	1000	2000	3000	5000
盖面朝上次数	28	54	106	158	264	527	1056	1587	2850
盖面朝上频率	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

下面有三个推断：

①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；

②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；

③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．

其中正确的是．（填序号）

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三、解答题

17. 计算： $\text{[math]}$ ．

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18. 计算： $\text{[math]}$ ．

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19. 解不等式组： $\text{[math]}$ ．

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20. 如图，反比例函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
1. （1）求反比例函数 $\text{[math]}$ 与一次函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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21. 综合与实践
1. （1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点C和D，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的平分线．
  
  请写出 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的依据：；
2. （2）类比迁移：
  小明根据以上信息研究发现： $\text{[math]}$ 不一定必须是等边三角形，只需 $\text{[math]}$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别取 $\text{[math]}$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，请说明此做法的理由；
3. （3）拓展实践：
  
  小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
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22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求“龙”字雕塑 $\text{[math]}$ 的高度．（B，C，D三点共线， $\text{[math]}$ ．结果精确到0.1m）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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23. 一名运动员在 $\text{[math]}$ 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 $\text{[math]}$ 的高度 $\text{[math]}$ 与离起跳点A的水平距离 $\text{[math]}$ 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为 $\text{[math]}$ 时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为 $\text{[math]}$ 时离水面的距离为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求y关于x的函数表达式；
2. （2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离 $\text{[math]}$ 的长．
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24. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点F，G，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．

信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． $\text{[math]}$ ；B． $\text{[math]}$ ；C． $\text{[math]}$ ；D． $\text{[math]}$ ；E． $\text{[math]}$ ；F． $\text{[math]}$ ）．

信息二：排球垫球成绩在D． $\text{[math]}$ 这一组的是：

20，20，21，21，21，22，22，23，24，24

信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：

分组	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
人数	2	m	10	9	6	2

信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：

学生	学生1	学生2	学生3	学生4	学生5	学生6
排球垫球	26	25	23	22	22	15
掷实心球	▲	7.8	7.8	▲	8.8	9.2

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空： $\text{[math]}$ ；
（2）下列结论正确的是；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；

②掷实心球成绩的中位数记为n，则 $\text{[math]}$ ；

③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．

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26. 如图， $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，如果点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于图形 $\text{[math]}$ 上任意两点距离的最大值时，那么点 $\text{[math]}$ 称为直线 $\text{[math]}$ 的“伴随点”．
例如：如图1，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 轴的“伴随点”．
1. （1）如图2，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 的“伴随点”时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图3， $\text{[math]}$ 轴上方有一等边三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上且在 $\text{[math]}$ 上方， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 轴的 $\text{[math]}$ 伴随点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离最小时，求等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长；
3. （3）如图4，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的正方形 $\text{[math]}$ 上始终存在点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 伴随点 $\text{[math]}$ ．请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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28. 综合与实践
1. （1）【思考尝试】
  数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．试猜想四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
2. （2）【实践探究】
  小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ 于点H， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，可以用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；
3. （3）【拓展迁移】
  小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中，E是边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点H，点M在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可以用等式表示线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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