高中数学(函数和导数)综合练习含解析

1、.高中数学（函数和导数）综合练习含解析学校 :_ 姓名： _班级： _考号： _一、选择题（题型注释）1已知函数 f (x)x2axa ln x( ar) g( x)x35 x24x322（ 1）当 a1 时，求证：x1, x21,，均有 f ( x1 )g( x2 )（ 2）当 x1,时， f ( x)0恒成立，求 a 的取值范围2 已 知 定 义 域 为 r 的 奇 函 数 yf ( x) 的 导 函 数 为 yf ( x) ， 当 x0 时 ，f (x)f ( x)0 ，若 af (1) ， b2 f ( 2) ， c(ln 1) f (ln 1 ) ，则 a,b, c 的大x22小关系

2、正确的是（）a a c b b b c a c a b c d c a b3函数 f (x)x33axa 在 0,2 内有最小值，则实数a 的取值范围是（）a 0,4b0,1c0,4d 4,44在函数 yf x的图象上有点列xn , yn ，若数列xn 是等差数列，数列yn是等比数列，则函数yfx 的解析式可能为（）a fx2x1b fx4x2c fxlog 3 x3xd fx45设 p : yc x 是 r 上的单调递减函数；q ：函数 gxlg2cx22x 1的值域为r 如果“ p 且 q ”为假命题， “ p 或 q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（）a 1 ,1b 1 ,c 0,

3、 11,d 0, 122226如果函数 y| x |2 的图像与曲线 c : x2y2恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）a 2 (4,)b (2,)c 2,4d (4,);.7 设 函 数 f ( x)1(x2g ( x)1x , x ， 2若 , 2 x1(0x 2),f ( x)2g(log 2 a)g (log 1a)2g ( 1 ) ,则实数 a 的取值范围是（）22a(0,1b1,2 1, 2d2c, 22228函数 f (x)x3x, x r ，当02 时， f (m sin )f (1 m) 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）a 0,1b1,0c,12d 9曲线

4、 yx在点1, 1 处的切线方程为（）x2a y2x1b y2x1c y2 x3d y2x210设 f (x)x ln x ，若 f ( x0 )2 ，则 x0（）a e2b ec ln 2d ln 22二、填空题（题型注释）11函数 f ( x)x3ax 2bx a 2 在 x 1 处有极值10，则 ab12 设 定 义 域 为 0,的 单 调 函 数 f (x) ， 对 任 意 的 x 0,， 都 有f f (x) l o g3 x4 ， 若 x0是 方 程 f ( x)2 f ( x)3 的 一 个 解 ， 且x0 ( a, a1), an * ，则实数 a13由曲线 yx ，直线 yx

5、2 及 y 轴所围成的图形的面积为14设 f ( x)x ln x ，若 f ( x0 )2 ，则 x0f ( x)f (1)0xf ( x)f ( x)00）215已知函数是定义在 r 上的奇函数，x（ x，则不等式x2 f (x) 0 的解集是;.16已知 fx 是定义在 r 上的周期为3 的函数，当 x 0,3时， f xx22x1.2若函数 yf xa 在区间 -3,4 上有10 个零点（互不相同） ，则实数 a 的取值范围是.三、解答题（题型注释）17已知函数 f ( x)x26x 4aln x ，其中 a r4x（ 1）若函数 f (x) 在 0,单调递增，求实数 a 的取值范围（

6、 2） 若曲线 y f （ x）在点（ 1，f （ 1）处的切线垂直于y 轴，求函数 f （ x）的单调区间与极值18设函数 f ( x)x ln x（ 1）求函数f ( x) 的最小值；（ 2）设 f (x)x2a xf( x)2x，讨论函数f ( x) 的单调性；（ 3）在第二问的基础上，若方程 f ( x)m ，（ mr ）有两个不相等的实数根x1 , x2 ，求证： x1 x2a 19已知函数 f ( x)x2axa ln x(ar) ， g( x)x35 x 22x 62（ 1）若 f (x) 的一个极值点为1，求 a 的值；（ 2）设 g( x) 在 1,4上的最大值为 b ，当

7、x1,时， f ( x) b 恒成立，求 a 的取值范围20 已知c0 ，设命题p ：函数 ycx 为减函数，命题q ：当 x1 , 2时，函数2f x11c 的取值范围x恒成立，如果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求xc21如果一元二次方程ax22x 10 a 0至少有一个负的实数根，试确定这个结论成立的充要条件22 已知c0 ，设命题p ：函数 ycx 为减函数，命题q ：当 x1 , 2时，函数2f x11c 的取值范围x恒成立，如果 p 或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，求xc23某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示用煤（吨）用电（千瓦）产值（

8、万元）甲产品7208;.乙产品35012但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56 吨，供电至多450 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产量最大？最大日产量为多少？24已知函数f ( x） x35 x2 ax b （ a,b 为常数），其图象是曲线 c 2（ 1）当 a2 时，求函数f ( x) 的单调减区间；（ 2）设函数f ( x) 的导函数为f ( x) ，若存在唯一的实数x0 ，使得f (x0 )x0 与f (x0 ) 0 同时成立，求实数 b 的取值范围；（ 3）已知点a 为曲线 c 上的动点，在点 a 处作曲线 c 的切线 l1 与曲线 c 交于另一点b ，在点 b处作

9、曲线 c 的切线 l 2 ，设切线 l1, l 2 的斜率分别为 k1 ,k2 问：是否存在常数，使得 k2k1 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由ax33 x21(xr)25已知函数 f （ x） =2，其中 a 0（）若a=1，求曲线y=f （ x）在点（ 2， f （ 2）处的切线方程；1 , 1（）若在区间22 上， f （x） 0 恒成立，求 a 的取值范围26已知函数f ( x)x33x （）求f (2) 的值；（）求函数f ( x) 的单调区间和极值27已知函数ln x1f x.x（ 1）求函数fx 的单调区间和极值；（2）若对任意的 x1，恒有 lnx1k1kx 成立，求

10、 k 的取值范围；3）证明：ln 2ln 3ln n2n2n 1nn , n2 .（22 +24n123n28已知函数 fxx35 x2axb, gxx37 x2ln xb ，（ a,b 为常数） .22（1）若g x在x10， -5），求b的值；处的切线过点（2）设函数fx的导函数为 f x，若关于 x 的方程 f xxxf x 有唯一解，求实数 b 的取值范围；（ 3）令 f xf xg x，若函数 fx 存在极值， 且所有极值之和大于5ln 2 ，;.求实数 a 的取值范围 .29 已 知 函 数f x满 足f x2 f x 2， 且 当x0 , 2时 ，f xln xaxa1，当 x4

11、, 2时， fx 的最大值为 -4.2（ 1）求实数 a 的值；（ 2 ） 设 b0 ， 函 数 gx1 bx 3bx , x1,2. 若 对 任 意 x11,2， 总 存 在3x21,2，使 fx1gx2 ，求实数 b 的取值范围 .30已知函数fxexax1（ e 为自然对数的底数） .（ 1）当 a1时，求过点 1, f1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（ 2）若 fxx2 在（ 0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围 .;.参考答案1（ 1） 1；（ 2） a1【解析】试题分析： （ 1 ）对 f x进行求导得到其导函数，因为f ( x) 的一个极值点为1，所以f 10，代入即可求

12、出a 的值；（ 2）对 gx 进行求导得到其导函数，判断出其在1,4 上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值b ；代入 f ( x)b ，分离参数 a ，构造一个新函数h x ，只需 a 小于等于其最小值即可试题解析：（ 1） a1 时， f （ x） x2 x ln x，f (x)2x 112x2x1(2 x 1)(x1)xxxf ( x)在（ ，）上是增函数，f ( x)minf (1) 01g ( x)3x25x 4 0，所以 g (x) 在（ 1，）上是减函数，g( x)maxg (1)0当 a 1时，x1 , x21,，均有 f ( x1 )g(x2 )（ 2）由

13、由 x 1 ，）知， x ln x 0，所以 f （ x） 0 恒成立等价于ax2在 x1,时恒成立，xln xx2， x1,xx1 2ln x令 h（ x）ln x，有 h（ x）x20xln xx 1, h ( x)0,h( x) 单调递增所以 x1,h （x） h（1） 1，所以 a 1考点：利用导数研究函数的极值和最值2 d【解析】试题分析：设 hx xfxh xf xxf x ，yfx是定义在 r 上的奇函数， h x 是定义在 r 的偶函数， 当 x0 时，hxfxxf x0 ，此时函数 hx单调递增 a1 f (1)h1 ， b2 f (2)h2 ， c(ln1) f (ln1)

14、h ln1，222;.又 2 11b a c 故选 d2考点：利用导数研究函数的单调性【思路点睛】 本题考察的是比较大小相关知识点， 一般比较大小我们可以采用作差法、 作商法、单调性法和中间量法，本题的题设中无解析式，所以我们无法采用作差法、作商法和中间量法，只能采用单调性法，经观察得需要进行构造函数，研究构造的函数的单调性，再利用函数的奇偶性进行转化到同一侧，即可判断出所给几个值的3 c【解析】试题分析：由题可得f x 3x23a3 xaxa ，所以 f x在 0,a 上单调递减， 在 a ,上单调递增， 所以 fx在 xa 处取得最小值， 又 fx 在0,2 内有最小值，所以只需考点：函数

15、的最小值4 d【解析】试题分析： 对于函数0a2 ，即 0a4 ，故选 c3x3xnf x上的点列xn , yn 有 yn，由于xn 是等数列差，44x n 13xn 1 xnd所以 xn 1 xnyn 14d, 因此3xnyn43434，这是一个与n 无关的常数，3故yn 是等比数列，所以fx4x合题意，故选d考点： 1、等差数列的定义；2、等比数列的定义；3、指数函数【易错点晴】 本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题 解决该问题应该注意的事项：(1) 数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2) 转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易

16、被忽视的问题；(3) 利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化本题构造出指数函数巧妙地将等差数列、等比数列结合起来5 a【解析】试题分析：本题考查命题真假的判定与推理，若命题p 为真命题，则0c1, 若命题 q 为真命题，则 c0 且48c0 即 0c1 , 由条件得： p 真 q 假或 p 假 q 真，故正实2数 c 的取值范围是1 ,1 , 故选 a2;.考点： 1、函数的单调性、值域；2、命题与逻辑联接词6 a【解析】试题分析：根据题意画出函数yx 2 与曲线 c： x2y2的图象，如图所示，当 ab与 圆 o 相 切 时 两 函 数 图

17、象 恰 好 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ， 过 o 作 ocab ， 因 为oaob 2 ， aob 90，所以 oc 22 ，此时oc 22 ，当圆 o 半径大于 2 ，即4 时 ， 两 函 数 图 象 恰 好 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ， 综 上 ， 实 数 的 取 值 范 围 是2（4， ），故选 a考点： 1、含绝对值的函数；2、圆的几何性质；3、数形结合7 d【解析】111 x(2x0),试题 分 析 ： 由 题g( x)f ( x)2,若x =21 x1 (0x2),2g(log 2 a)g(log 1a)2 g(1)即g(log 2 a)g (log 2 a)2

18、1113当222222log 2 a00log 2 a2g(log 2 a)g(log 2 a)3时，此 时即为211312即1l 2oa g2 al o g12 al o ag结 合2l o2 ag2202222a 1， 可 知 此 时 a2 ,1； 当 0l o 2ga2时2log 2 a0 ， 此 时22g(log 2 a)g(log2 a)3即为212 ao12 a g0 l o g2 a32 al2结 合2122;.即 1a4 ，取交集即为 1a2 ，综上 实数 a 的取值范围是 2 , 22考点：分段函数，对数函数的性质【名师点睛】 本题考查分段函数，对数函数的性质， 对数不等式的

19、解法等知识，属中档题 解释由已知条件得到g( x) 仍为分段函数， 讨论2log 2 a0和 0log 2 a2 两种情况， 化简不等式，解之即可注意每一种情况中秋的是交集，而最后两种情况求的是并集8 d【解析】试题分析：由导函数f( )3x21可知f ( x)x3x, x r 是单调递增奇函数，所以在x解 不 等 式f ( m s i ) n f (1 m) 0时 要 充 分 利 用 这 一 条件 f (m sin)f (1m)0f (m sin)f (1m) ，又函数 f (x) 为奇函数，所以f (1m)f ( m1)，即 f( m sin) f (m -1)，又因为函数 f ( x)

20、在 r 上为单调递增的函数，所以必有msinm1，当sin1时，对任意的 m 不等式恒成立， 当sin 0,1)时，有 m1，当 sin 0,1)时，11，所以 m 1，综上所述， m 的取值sin1sin1范围是,1，故正确选项为d考点：利用函数的单调性，奇偶性解不等式【思路点睛】本题主要考查利用导函数来判断函数的单调性，以及解有关复合函数的不等式在解有关函数的不等式时，如果函数是高次的复合函数，则需要先利用导函数判断外函数在定义域上的单调性， 将不等式转化为关于内函数的不等式， 继续解不等式， 从而求出参数的范围，在解不等式，要充分利用题中已知的函数性质9 a【解析】试 题 分 析 ： 求

21、 曲 线 某 点 的 切 线 ， 需 要 先 求 得 该 点 的 导 数 ， yx的 导 函 数 为x2y22 ，则曲线在点( 1, 1) 处的切线斜率为k22 ，利用点斜式可求得2)( 1 2)2( x切线的方程为y2x1，故正确选项为a考点：导数的运用10 b【解析】试 题 分 析 ： 先 求 f (x)x ln x 的 导 函 数 ， 可 知 f (x)(x) ln xx(ln x)ln x1 ，;.f ( x0 )2 ，即 ln x012 ，可求得 x0e ，故正确选项为b考点：导数的计算11 7【解析】试题分析：对原函数求导可得f x3x22axb ，f11 a b a210a4 或

22、 a3，当 a 3,b3 时，由题得1 3 2a b 0f b 11b3f x 3x220 ， 此 时 x1 不 是 极 值 点 ， 不 合 题 意 ， 经 检 验6x 3 3 x 1a 4,b 11 符合题意，所以 a b 7考点：函数的极值12 2【解析】试题分析：根据题意，对任意的x0,，都有 f f ( x)log 3 x4 ，又由 f (x) 是定义 在0,上 的 单 调 函 数 则 fxlog 3 x 为 定 值 ， 设 tfxlog 3 x ， 则fxt l o 3g xft4， 可 得tlog 3 t4t3 ， 故fxlog3 x 3， 又f x1， 又 x0是 方 程f (

23、x)2 f (x) 3 的 一 个 解 ， 所 以 x0是x ln 3fxf (x)2 f ( x)3log 3 x2的零点，分析易得x ln 3f210, f3 120 ，所以函数 fx 的零点介于2,3 之间， 故log 3 2a2ln 33ln 3考点：导数运算【思路点睛】由题意可得fxlog3 x 为定值，设为t ，代入即可得到t 的值，从而可得函数的解析式， 代入化简新构造函数，根据零点存在性定理即可得到零点所在范围，从而求出所得答案 此类题目一般都需要进行整体换元来做，进而可以求出函数的解析式，然后根据题意即可得到所求答案13 163【解析】试题分析： 联立方程yx得到两曲线的交点

24、4,2 ，因此曲线 yx ，直线 y x 2yx2及 y 轴所围成的图形的面积为 sx x 2 dx31 x22x |04 16 2 x 240323;.考点：定积分在求面积中的应用14 e【解析】试题分析： f ( x)ln x1f ( x0 ) 2 ln x012,ln x01, x0e考点：函数的导数15 ( 1,0) (1,)【解析】试 题 分 析 ： 仔 细 观 察 ， 会 发 现 条 件 中 的 xf ( x)f (x) f ( x)， 所 以 可 构 造 函 数f ( x)xf ( x)f (x)x2xf( x)上为增函数，又 f(1) 0 ，由 f (x)x20 得 f ( x

25、) 在 0,x所以f(1)0f ( x)在（0,1）上f ( x) 0在(1, )上， f (x)0；又f (x)xf ( x)，则函数所以在（0,1）上 f (x) 0在 (1,)上， f (x)0 ， f (x) 是定义在 r 上的奇函数，则在在（ - 1,0）上 f ( x)0 在 (- ，-1)上， f ( x) 0 ，而不等式 x2f ( x) 0 的解集即 f (x) 0 的解，所以解集为 (1,0)(1,) 考点：函数的单调性，奇偶性，以及导函数的运用【思路点睛】本题的关键在于能够根据xf (x)f ( x) 构造出一个对解题带来方便的新函数x2f( x)f ( x) ，因为题中

26、只说明f ( x) 是奇函数及一个零点，而解不等式 x2f (x)0 ，必须xf ( x)要知道 f ( x) 值域在那些区间上为正， 那些区间上为负， 而通过新构造的函数f ( x)，x结合其单调性及f ( x) 的零点，刚好能解决这一难题本题同时也考查了学生对公式 f ( x) f ( x) g( x)f ( x) g (x)的逆运用g (x) g ( x) 2116 0，2【解析】;.试题分析：因为 fx 是定义在r 上的周期为 3的函数， 当 x0,3 时， f xx22x1.画出函数 fx 和 y a 在3,4 的图像如2图所示，a1，02考点：根的存在性及根的个数判断17（1）,

27、1 ；（ 2）单调递增区间为 0,1和 3,，单调递减区间为1,3 ，极大值f 12 ，极小值为 f 31ln3【解析】试题分析： （ 1 ）对原函数f x进行求导得到f x，令 f x0 ，分离参数得到x22xx22 xa，只需 a 小于等于44即可得到所求答案min（ 2）由（ 1）和题意可知 f 10 ，即可求出 a 的值，代入导函数f x ，令 f x0 ，得到其零点，列表即可判断出函数的单调性和极值试题解析：（ 1）对 fx 求导得 f x1a14x2x函数 f (x) 在 0,单调递增，f( x)0 在 0,恒成立1a14x20xg( x)x2 4x (x2) 24144a1， a

28、 的取值范围,1（ 2）对 f x 求导得 f x1a1，由 fx在点（ 1，f （ 1）处的切线垂直于直线4x2xy 轴，可知 f （ 1） 3 a 0，解得 a344;.由（ 1）知 f (x)x3344xln x2则 f （ x） x24x3 ，4x2令 f （ x） 0，解得 x1或 x 3x0,111,333,f (x)+00f ( x)极大值极小值由此知函数fx在 x 1 时取得极大值f （1） -2f x 在 x 3时取得极小值f （3） -1 ln 3 考点：导数的综合应用18（ 1）1 （ 2）单调增区间为a ,，单调减区间为0, a （ 3）证明见解析e22【解析】试题分析

29、：（ 1）求出其定义域，对f x 进行求导得到 f x ，令导函数等于 0 可以判断出在其定义域上的单调性，从而判断出其最小值；（ 2）由（ 1）把 f x 代入 fx ，对 fx 进行求导得到f x ，对 a 进行分类讨论，即可得到 fx 的单调性（ 3）本题可以采用分析法来进行证明，一步步的往上推导出一个很容易证明或者是公理的式子再进行证明即可得到所求答案试题解析： f （ x）=lnx+1 （ x 0），令 f （ x） =0，得当时， f （ x） 0；当时， f （ x） 0当时，（ 2） f （ x）=2x（ a 2）（ x0）当 a 0 时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（

30、 0，+）上单调递增，函数 f（ x）的单调增区间为（ 0，+）当 a 0 时，由 f（ x） 0，得 x；由 f（ x） 0，得 0 x;.所以函数f（ x）的单调增区间为，单调减区间为（ 3）证明：因为x1、 x2 是方程 f（ x） =m的两个不等实根，由（1）知 a 0不妨设 0x1 x2，则（ a 2） x1 alnx 1=c，（ a 2） x2 alnx 2=c两式相减得（ a 2）x1 alnx 1+（ a 2）?x2+alnx 2=0，即 +2x1 2x2=ax1+alnx 1 ax2 alnx 2=a（ x1+lnx 1 x2 lnx 2）所以 a=因为 f=0，即证明 x1

31、+x2，即证明+（ x1+x2）（lnx 1 lnx 2）+2x1 2x2，即证明 ln设 t=（ 0 t 1）令 g（ t ）=lnt ，则 g（ t ） =因为 t 0，所以 g（ t ） 0，当且仅当 t=1 时， g（ t ） =0，所以 g（ t ）在（ 0， +）上是增函数又 g（ 1）=0，所以当 t （ 0， 1）时， g（ t ） 0 总成立所以原题得证考点：导数的综合应用19（ 1） 1；（ 2） a1【解析】试题分析： （ 1 ）对fx 进行求导得到其导函数，因为f ( x) 的一个极值点为1，所以f 10 ，代入即可求出a 的值；（ 2）对 gx 进行求导得到其导函数，

32、判断出其在1,4 上的单调性，从而可以判断出最大值在哪个点取得，求出其最大值b ；代入 f ( x)b ，分离参数 a ，构造一个新函数h x ，只需 a 小于等于其最小值即可试题解析：（ 1）af ( x) 2 xa，令 f (1)2 a a 0 ，则 a 1x经检验，当a 1 时， 1 是 f ( x) 的一个极值点（ 2）g( )3x25x2(x2)(3x1)，x;.所以 g (x) 在 1,2 上是增函数， 2,4上是减函数 g(x) maxg(2) 0f ( x)0 在 x1,上恒成立，由 x 1 ，）知， x ln x 0，所以 f （ x） 0恒成立等价于 ax2在 x e ，）

33、时恒成立，xln xx2xx12ln x0令 h（ x）ln x，x 1 ，），有 h（ x）xln x2x所以 h（ x）在 1 ，）上是增函数，有h（x） h（1） 1，所以 a1考点：利用导数研究函数的极值和最值c | 0 c1 或 c 1202【解析】1p0 c1，qc试题分析：根据题意可求得命题为真命题时，为真命题时，2 ，因命题为 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，所以可得p 、 q 中必有一真一假，分两种情况求解试题解析：因为函数y c x 为减函数，所以0c 1，：p0c1，2112c1c1xc2 ， q：2因为x ，要使不等式恒成立，需，即，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则p 、 q 中必有一真一假，0c 1010c1当 p 真 q 假时，c2 ，2 ，解得c1c1当 p 假 q 真时，2 ，解得 c1c | 0